Площадь прямоугольника (разминка для мозгов)

[Zebestov]

Большой прямоугольник состоит из одинаковых прямоугольников, длины сторон которых — целые числа.
Какие из ответов могут быть площадью большого прямоугольника?

32783

[ZackMercury]

A(180), E(1620).

Добавлено через 2 часа 42 минуты
https://pp.userapi.com/c638318/v638318943/3ab32/CtD17tg74cA.jpg
О, чё придумал. Сам не считал, чтобы интереснее было. Товарищ Zebestov хотел тут мозги размять, пробуй)
Поправочка, пусть будет 30000, чтобы не иметь дело с слишком маленькими значениями)

[ShockWave512]

1) Какие из ответов могут быть площадью большого прямоугольника?

Которые делятся на 9 без остатка. Верно?

[caseyryan]

ZackMercury, ты не правильно его нарисовал) Сломав всю суть. В треугольнике Серпинского площать стремится к нулю, но так как у тебя не закрашены центры трех нижних треугольников, то их площадь будет оставаться неизменной) Или в этом и был подвох? :D

[Zebestov]

Да, треугольник, который нарисовал ZackMercury, с подвохом. Но площадь закрашенной части наверное все же не к нулю стремится, ведь имеется в виду вся закрашенная область.

Которые делятся на 9 без остатка. Верно?
Отчасти :)

[caseyryan]

Да, треугольник, который нарисовал ZackMercury, с подвохом. Но площадь закрашенной части наверное все же не к нулю стремится, ведь имеется в виду вся закрашенная область.


Деление может происходить бесконечное количество раз. Поэтому она стремится к нулю

[Zebestov]

…поэтому она стремится к нулю
Ты ошибаешься :) накати кофе, и все прояснится.

[undefined]

Я правильно понял что это вообще нифига не треугольник Серпинского?

[caseyryan]

Ты ошибаешься :) накати кофе, и все прояснится.

Это не я придумал. Площадь стремится к нулю
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif/800px-Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif

И вот из википедии
The area of a Sierpinski triangle is zero (in Lebesgue measure). The area remaining after each iteration is clearly
3/4 of the area from the previous iteration, and an infinite number of iterations results in zero.[11]
Так что прав я :D

[Zebestov]

Ты прав. Это я путал с не(!)закаршенными, площадь которых стремится к площади треугольника.

[Bletraut]

Ответ на задачу с прямоугольником. Любая, кроме В.

Решаем чрез уравнение. Т.к. прямоугольников 9, а стороны их равных, то

9 * a * b = x;

Из рисунка можно заметить, что 4 * a = 5 * b, отсюда следует, что b = 4/5 * a. Подставляем в исходное уравнение, получаем

9 * 4/5 * a = x;

и получаем коэффициент

7.2 * a = x;

Далее подставляем все Х и смотрим какие делятся без остатка. Делятся все кроме В. Надеюсь ТС скажет правильно ли я решил.

[ZackMercury]

Bletraut, нет.
Ошибка здесь:

b = 4/5 * a;
9 * a * b = x;
Подставляем в уравнение, и получается
9 * 4/5 * a * a = x;
У вас
9 * 4/5 (*a) * a = x;

Это не треугольник Серпинского.
Площадь не может стремиться ни к нулю, ни к нижним треугольникам, так как площадь всех этих и дальнейших треугольников остаётся неизменной(не нулевой)
https://pp.userapi.com/c638318/v638318943/3ac6a/KVUknMMSCxE.jpg

[Bletraut]

Да, эх... невнимательность :D

Добавлено через 3 минуты
Но всё равно слишком простая разминка :D

[Zebestov]

Разминка и должна быть несложной :) на то она и разминка!

[caseyryan]

Это не треугольник Серпинского.
Площадь не может стремиться ни к нулю, ни к нижним треугольникам, так как площадь всех этих и дальнейших треугольников остаётся неизменной(не нулевой)
https://pp.userapi.com/c638318/v638318943/3ac6a/KVUknMMSCxE.jpg
А что тогда в этом треугольнике происходит бесконечно? Добавление верхушки? Если площадь закрашенных треугольников остается неизменной, тогда твоя задача изначально бессмысленна) Площадь ни к чему не стремится, она постоянна)

[undefined]

вопрос в том, к чему сойдется площадь после завершения построения.По идеи надо предел считать,но мне лень :)

[Bletraut]

Разминка и должна быть несложной :) на то она и разминка!

Тогда может быть ещё задачка будет?

[ZackMercury]

Верхушка не добавляется, а разбивается с каждым уровнем на более мелкие треугольники
Существует некоторый предел, дальше которого площадь не увеличивается :3 Каков же он?
P.S. попробовав посчитать, я пришёл к выводу, что лучше 300, чем 30000.)

[Zebestov]

Тогда может быть ещё задачка будет?
Ну, если будет, скину :) это на FB время от времени попадается.

[caseyryan]

Существует некоторый предел, дальше которого площадь не увеличивается :3 Каков же он?
Ага, типичный треугольник Серпинсокго. Площадь у этой штуки в принципе не увеличивается, а уменьшается. Что-то не то ты считал

[undefined]

ZackMercury,изобрази первые 2-3 итерации построения

[ZackMercury]

Надеюсь, так понятней(немного криво)
https://pp.userapi.com/c638318/v638318943/3ae19/w6WV1NtL9qY.jpg

[undefined]

это ничем не отличается от первого рисунка

[callme]

ZackMercury, 2/3 от площади треугольника?

[ZackMercury]

О каких итерациях тогда речь? Нет никаких итераций)
callme, у меня другая цифра)

[callme]

callme, у меня другая цифра)
0,(6) ? :)

[FlashRus]

ZackMercury, а тебе не кажется, что твой треугольник
должен был выглядеть так, а не с тремя "оторванными"
от модели треугольниками в основании?

32785

В таком случае каждая "новая площадь" у уменьшенного треугольника - 1/4 от текущего.

[ZackMercury]

Берём за х площадь одного из нижних трёх треугольников.
Получаем такую прогрессию
3x + 2(3/4)x + 2(1/4)(3/4)x + 2(1/4)(1/4)(3/4)x + ...
Преобразуем это в
3x + (sum i=1 i<infinity step 1 of 6/(4^i))x
https://pp.userapi.com/c638318/v638318943/3aed9/ILfQP88Ez24.jpg
Где сумма бесконечно приближается к 2.
Итого получаем, что предел площади закрашенной области = 5х.
Переводим это в площадь всего треугольника
считаем кол-во треугольников с площадью х, которые составляют большой треугольник, и выходит 9.
x = (1/9)y;
5(1/9)y = (5/9)y;
где у - площадь треугольника.

FlashRus, задача - запутать) Если бы я взял такой треугольник, то было бы очевидно, что площадь = 1/2 из того, что
берём сумму всех закрашенных областей основания:
3 черных слева + 3 чёрных справа = 1 белый слева + 1 белый справа + 4 посередине.

[undefined]

О каких итерациях тогда речь? Нет никаких итераций)
опиши алгоритм построения этого множества чтоб его можно было ЗАПРОГРАММИРОВАТЬ на манер как описан способ построения треугольника Серпинского в вики (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE#.D0.98.D1.82.D0. B5.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4)

[callme]

ZackMercury, я почти не знаю математику, поэтому не могу понять твое решение.

Скажи где я ошибся в моем?

1. Я взял три больших закрашенных треугольника внизу. Итого пока имеем 3/9 от общей площади.

2. Теперь поднимаемся на ступень выше. Там закрашенных трегольников 6 из 12. Сократим - получилось 1/2.

3. Во всех ступеньках, которые выше, закрашенных треугольников тоже: 1/2.

4. Так как после первого шага осталось 6/9 от общей площади. А из них половина закрашена, то 6/9 делим на два. Получается 3/9.


Поэтому мой ответ: 3/9 + 3/9 = 6/9 = 2/3.

[ZackMercury]

https://pp.userapi.com/c638318/v638318943/3af40/MXH74qtxsFo.jpg

Добавлено через 19 минут
callme, ошибка тут:
Так как после первого шага осталось 6/9 от общей площади.
В первом шаге ты прошёл 5/9 от общей площади, а посчитал только закрашенные.
Должно быть
3/9 + 4/9 * 1/2 = 5/9

[callme]

ZackMercury, спасибо, перевел слепого через дорогу :)

[ZackMercury]

Насчёт треугольника Серпински, кстати)
https://www.youtube.com/watch?v=kbKtFN71Lfs

[ZackMercury]

Площадь многоугольника
33049
(разминка для мозгов)
Ответы в
test

Взято отсюда https://brilliant.org/practice/the-beautiful/?p=5

[Zebestov]

Ответ: 4.5

[ZackMercury]

Цвет постов на форуме в шахматном порядке. Не учёл.