Форум Flasher.ru
Ближайшие курсы в Школе RealTime
Список интенсивных курсов: [см.]  
  
Специальные предложения: [см.]  
  
 
Регистрация Блоги Правила Справка Пользователи Календарь Поиск рулит! Сообщения за день Все разделы прочитаны
 

Вернуться   Форум Flasher.ru > Блоги > ZackMercury

Оценить эту запись

Производная функции для людей - Часть 3

Запись от ZackMercury размещена 09.11.2017 в 17:25
Обновил(-а) ZackMercury 09.11.2017 в 18:04

В двух предыдущих частях мы узнали, что такое наклон(slope) линейной функции и что такое предел.

Я хочу рассеять все догадки и фантазии о том, что такое производная, поэтому я начну с того, что наконец скажу, что это такое. Готовы?
Производная функции - это скорость её возрастания.

Наклон - это и есть производная?
Да, для линейной функции наклон и будет являться производной функции. Он на всех промежутках одинаков, поэтому мы с уверенностью можем сказать, что, скажем, производная

y = 2x + 3


Будет равна 2. Для любой функции вида y = mx + b, производная будет равна m.
Конечно, я снова не призываю верить мне наслово, скорее наоборот, я призываю проверять мои слова как можно чаще и считать самостоятельно, чтобы вы крепко это запомнили и у вас появилась уверенность в том, что это так

Тоесть, суммируя всё сказанное, производная - это какое-то число, которое говорит о скорости возрастания функции, или наклоне функции?
Так и есть, если не говорить про один момент. До этого, когда мы говорили о наклоне, мы имели в виду функции вида

y = mx + b


Но давайте взглянем на график функции

y = x²

Название: Снимок.JPG
Просмотров: 150

Размер: 31.1 Кб

Мы видим, что у этой функции нет никакого наклона, она постоянно его меняет!
Но скорость изменения функции в каждой конкретной точке у этой функции есть.

Тоесть, всё-таки, наклон функции и производная - это не одно и то же?
На самом деле, когда мы говорим про производную, мы говорим про наклон касательной в конкретной точке.

Касательная - это прямая, имеющая общую точку с функцией, но не пересекающая её. Тоесть, ближе к теме - имеющая такой же наклон, что и функция в конкретной точке.

Название: 2017-11-09_11-18-01.gif
Просмотров: 144

Размер: 496.6 Кб

Соответственно, говорить о производной как о наклоне функции в какой-то конкретной точке вполне уместно.

Давайте попробуем посчитать производную функции

y = x²


В точке -2. Для этого нам нужно взять точку -2, и ещё одну рядом лежащую точку, и посчитать между ними наклон как если бы это была обычная линейная функция.

Если говорить более математическим языком, что в данной ситуации более правильно, то стоит ввести пару обозначений. Надеюсь, получилось не слишком запутано(если это так, дайте мне знать в комментариях):

Название: Снимок3.JPG
Просмотров: 119

Размер: 31.6 Кб

Тоесть, мы добавили новую точку по оси OX (-2 + Δx), и вместо Δx мы подставим какое-нибудь очень маленькое число.
Как вы могли заметить, здесь я заменил обозначение rise(подъём) на Δy, а run(пройденное расстояние) на Δx, и выходит, что теперь

slope = Δy / Δx

или

Название: Снимок4.JPG
Просмотров: 122

Размер: 36.3 Кб

Другими словами мы делим разницу по игрику между нашей точкой

y(-2+Δx) - y(-2)

на разницу по иксу

(-2+Δx) - (-2)

Итак, давайте наконец посчитаем производную в этой точке, взяв относительно маленькое число 0.00001

Название: Снимок5.JPG
Просмотров: 117

Размер: 67.3 Кб

Я думаю, все прекрасно понимают, что насколько бы маленькое число Δx мы ни взяли, результат всё равно будет неточным, но...

Секундочку! А что, если... Взять предел этого выражение при Δx->0 ?
Вот мы и приплыли. Если у вас возникла такая мысль, то сейчас всё должно щёлкнуть, потому, что мы наконец на месте. Добро пожаловать в мир математики.

И, вместо -2 взять переменную x, чтобы охватить сразу весь интервал от -∞ до ∞


Если вы вдохновлены идеей, вы можете остановиться читать в любой момент и попытаться найти производную y = x² самостоятельно! Но если у вас возникли какие-то проблемы, вы можете взглянуть на вывод производной этой функции ниже.

Нажмите на изображение для увеличения
Название: Снимок6.JPG
Просмотров: 101
Размер:	62.2 Кб
ID:	593

Если вам абсолютно всё чётко и ясно - поздравляю, мы с вами научились находить производную! Сейчас вы должны кричать "бинго", и танцевать, как Jon Arbuckle.

Именно так вычисляли производные до Ньютона и Лейбница.

Секундочку... А как обозначать производную?
Честно говоря, способов обозначать производную довольно дофига...
https://en.wikipedia.org/wiki/Notati...ifferentiation



Однако основные это

Название: Снимок7.JPG
Просмотров: 112

Размер: 21.9 Кб
  • обозначение Лейбница(читается как производная икс квадрат по иксу, или по-английски derivative of x squared with respect to x)
  • обозначение Лагранджа, наверное, самое простое для восприятия. Значок ' читается как "штрих", или по-английски prime.
Возможно, где-нибудь в старых учебниках или в физике вы ещё встретите обозначение Ньютона, но это уже выходит за рамки моей статьи, это вам вряд ли пригодится.

Ну что-ж, на этом путешествие не заканчивается.
Вычисление производных таким способом казалось довольно долгим и нудным, но Ньютону и Лейбницу казалось, что есть способ сократить время, затрачиваемое на вывод производной.
Именно поэтому, они оба работали над набором правил для того, чтобы вычислять производные на лету, и пришли к 4 основным правилам вычисления производных:
  • Power rule (правило степени)
  • Product rule (правило умножения)
  • Quotient rule (правило частного)
  • Chain rule (правило цепи)

Нажмите на изображение для увеличения
Название: Снимок8.JPG
Просмотров: 208
Размер:	53.1 Кб
ID:	595

Ещё можно добавить сюда же правило, что производная константы = 0, что имеет смысл. (хотя грех назвать это правилом, это скорее вывод из определения производной как скорости изменения функции)

Название: Снимок9.JPG
Просмотров: 111

Размер: 29.7 Кб

Также правило, что производная суммы 2 функций = сумме производных этих двух функций и правило, что константа-множитель может быть вынесена за знак производной.

Доказательства этих правил вы можете найти в интернете, но вы можете и просто довериться Ньютону и Лейбницу, правила уже миллиарды раз проверены людьми по всему миру.

Но если вы хотите понимать, как к этому пришли, советую таки взглянуть на доказательства, предоставленные khanacademy:

Proof of Power Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=dZnc3PtNaN4
Proof of Chain Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=FKraGDm2fUY
Proof of Product Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=L5ErlC0COxI
Proof of Quotient Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=ho87DN9wO70


Желательно смотреть сверху вниз, т.к. доказательство Quotient Rule пользуется Product Rule И Chain Rule.

Давайте пересмотрим всё, что сегодня изучили.
С первого взгляда сложно понять, как связана функция и её производная, но то, что мы сегодня изучили - это то, что значение производной в данный момент времени говорит о наклоне нашей функции в данный момент(или наклоне касательной, если вам так удобней думать)

Название: Снимок11.JPG
Просмотров: 107

Размер: 32.3 Кб

Здесь наклон красной прямой(ну, не совсем прямой, да, какая вышла) равен -10.
Всего комментариев 0

Комментарии

 

 


Часовой пояс GMT +4, время: 23:18.


Copyright © 1999-2008 Flasher.ru. All rights reserved.
Работает на vBulletin®. Copyright ©2000 - 2020, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot
Администрация сайта не несёт ответственности за любую предоставленную посетителями информацию. Подробнее см. Правила.