Производная функции для людей - Часть 1
Зачем нужна производная? Что такое производная?
Производная используется в алгоритме обучения нейронных сетей, который называется Gradient Descent(градиентный спуск), о котором мы поговорим чуть позже.
Производная используется в физике и математике для того, чтобы получить графическое представление о каком-либо математическом выражении, при этом не подставляя в функцию поочерёдно ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
Производная также позволяет делать вещи, которые без неё делать практически нельзя, разве что изобретя её самостоятельно.
Зачем вам производная - решать вам, но здесь я попытаюсь донести, что это такое на простом, человеческом языке, на основе простых и понятных каждому математических операций таким образом, что даже если вы не знаете, зачем она вам нужна, вам не составит особого труда понять, что это такое и как его можно использовать. Затем я буду постоянно маленькими шажками приближаться к понятию производной, при этом стараясь не делать запутанных утверждений, не объясняя деталей.
С чем необходимо разобраться прежде, чем приступать к статье?
Статья предполагает, что вы знакомы с сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в степень и извлечением корней. Также желательно уметь решать уравнения, и знать, что такое функция.
Вступление
Для того, чтобы понять производную необходимо разобраться во всего двух вещах, об одной из которых мы сегодня поговорим:
- наклон (slope)
- предел (limit)
Наклон (slope)
В школе вы, возможно сталкивались с понятием функции.
y = x
Так выглядит одна из самых простых математических функций? Ну, допустим.
Из этого выражения следует, что y всегда будет равно x:
Что это? Это Desmos Graphing Calculator, бесплатное браузерное приложение, которое можно открыть в любой момент, ввести туда функцию и посмотреть на её график.
Итак, что же такое наклон (slope), и чему он равен в нашей простейшей функции? Вы, скорее всего, сейчас начали думать об углах, синусах, косинусах, но не спешите закрывать статью!
Наклон (slope) - это скорость возрастания функции, подъём(rise) / пройденное расстояние(run), или по-английски
slope = rise / run.
Почему мы делим подъём(rise) на пройденное расстояние(run)?
Представьте себе классическую детскую математическую задачу, где нужно узнать скорость, зная пройденное расстояние и время.
Мы делили пройденное расстояние на время потому, что нам нужно было узнать, сколько единиц расстояния мы проходим за единицу времени.
Здесь же нам нужно узнать, сколько единиц мы поднимаемся, пройдя единицу расстояния. Тоесть, скорость возрастания или наклон (slope) говорит нам, сколько единиц мы проходим вверх или вниз, в зависимости от знака, проходя единицу расстояния.
Каков же наш наклон(slope)? Что-ж, проходя 1 вправо, мы поднимаемся на 1, по формуле slope=rise/run
slope = 1/1 = 1
А что, если я возьму абсолютно любой другой промежуток функции, и посчитаю наклон(slope) там? Он будет таким же?
Абсолютно, вы можете нарисовать любую функцию и проверить это утверждение самостоятельно, или воспользоваться Desmos Graphing Calculator.
А что насчёт
y = 2x
? Каков теперь наш наклон(slope)? Давайте это выясним:
Вот это да! Получается, наклон(slope), или скорость всегда будет равна коэффициенту, стоящему перед x?
Хороший вопрос! Да, так и есть, коэффициент говорит нам о наклоне прямой, которую описывает функция.
Приятный сюрприз, не правда ли? Теперь нам не нужно долго думать, чтобы понять наклон функции, с которой мы имеем дело. Если для вас статья скучная, и вам надоело, то не спешите, скоро вас ждёт ещё один приятнейший сюрприз, который также прояснит для вас довольно крупную часть математики, которая прежде для вас не была интуитивной.
Наклон(slope) также является тангенсом угла прямой этой функции от оси OX:
Можно ли построить функцию, которая будет просто лежать на оси координат OX?
Хороший вопрос! Можно:
y = 0x или y = 0
Тангенс 0 градусов = 0. (Внимание! Я не призываю верить мне наслово, поэтому я и дал ссылку на Desmos Graphing Calculator! Это в случае, если у вас нет времени посчитать и проверить всё самостоятельно)
Можно ли построить функцию вертикальной прямой?
Нет, тангенса 90 градусов не существует, однако можно взять за коэффициент очень большое число, при котором прямую будет сложно отличить от вертикальной:
y = 9999999999999999999999x
Что нам говорит эта формула? То, что за 1 единицу по x, функция поднимается на 9999999999999999999999 по y, но находясь в маленьком масштабе можно принять прямую за вертикальную.
С помощью какой операции можно получить коэффициент прямой, зная угол её наклона?
tan(angle)
А как получить угол наклона прямой, зная наклон(slope)?
arctan(slope)
Можно ли формулой описать абсолютно любую прямую, какую только можно нарисовать?
Очень хороший вопрос! Абсолютно! Это называется уравнение линии(прямой)
y = mx + b или y = kx + b или y = ax + b
Здесь m, k или a - это тангенс угла наклона этой прямой, а b - это некоторая константа, которая позволяет двигать прямую по вертикали.
Таким образом, зная точку, через которую проходит прямая и угол наклона, можно найти b. Например, дадим себе некоторую челлендж-проблему на закрепление того, что мы сегодня узнали:
Найти уравнение прямой для:
Если вы достаточно вдохновлены, вы можете остановиться здесь и решить проблему самостоятельно. Как бы то ни было, ниже решение.
Всего комментариев 46
Комментарии
08.11.2017 21:47 | |
OMG! Фихтенгольц нервно курит в сторонке
|
08.11.2017 21:54 | |
alexcon314, в каком смысле? Я что-то не так сказал?
М.б. есть критика или вопросы? |
08.11.2017 22:09 | |
P.S. Я надеюсь сделать последнюю часть самой насыщенной и продуманной, поэтому буду писать её в течении недели в свободное время, дополняя примерами на AS3.
|
09.11.2017 23:38 | |
Цитата:
прошёл курс по дифф. исчислению на khanacademy, чего советую всем, кто знает английский
Я могу, конечно, ошибаться. Например, в том случае, если ты уже имеешь хотя бы вышку хотя бы в размере первого курса технической специальности (в мое время вообще все это вполне успешно изучали в старших классах средней школы) и решил таким вот экзотическим образом прокачать скилы в ангийском. Но что-то мне подсказывает это не тот случай. Цитата:
Везде отсебятина
Цитата:
Поэтому я ожидаю вопросов и критики
PS: "вот и выросло поколение" (с) PS2: я скучаю, так что без обид. |
|
Обновил(-а) alexcon314 09.11.2017 в 23:56
|
10.11.2017 10:41 | |
alexcon314, для меня английский не совсем неродной, я общаюсь на нём с кучей людей вот уже под 6 лет.
Ну и... khanacademy незаменим. Даже если ты плохо понимаешь английский, там есть субтитры на каждом видео, и это того стоит. Так, как объясняют там не объясняют нигде. Каждый раз, когда меня запутывали всякими сложными терминологиями, я шёл на khanacademy и смотрел плейлист на эту тему там. В рунете такого нет. Есть видеокурсы по школьной математике, но это совсем не то. Если есть свободных 20 мин https://www.youtube.com/watch?v=nTFEUsudhfs (Включи рус. субтитры) Этот парень научил меня любить математику больше, чем программирование или что-либо другое. Ну и на самом деле, английский - это язык математики. Все обозначения физики и математики на самом деле являются сокращениями английских или латинских слов, т.к. наука и технология распространялись из рима, древней греции, а затем англоязычных стран. Поэтому если ты не хочешь взрывать себе мозг непонятными обозначениями, то стоит изучать материал на khanacademy Вот вам никогда не приходил в голову вопрос, а почему мы обозначаем скорость V вместо С, а расстояние - S вместо Р? Почему производная не П, а d? А почему ускорение это "a", а не "у"? В итоге, у бедных детей потом крыша едет от всех этих непонятных обозначений. |
|
Обновил(-а) ZackMercury 10.11.2017 в 12:44
|
10.11.2017 19:24 | |
Цитата:
Может быть. Не интересовался. Ты книги/учебники/задачники игноришь из принципа?
Кто в здравом уме по вечерам будет читать учебники или задачники? Другое дело - плейлисты, где всё аккуратно и потихоньку рассказывается, и ты уверен, что лучшего объяснения не найдёшь нигде У меня глаза от этих ваших книжек быстро устают, да и скушновато это. Щас бы трёхтомники по диф исчислению читать перед сном. Книги могу разве что слушать в аудиоформате, что к учебникам в принципе не применимо. Вот уж что можно назвать мазохизмом, так это чтение толстых учебников, написанных занудами. |
|
Обновил(-а) ZackMercury 10.11.2017 в 23:04
|
11.11.2017 20:29 | |
Цитата:
Не люблю, когда многа букаф.
Кто в здравом уме по вечерам будет читать учебники или задачники? Цитата:
"вот и выросло поколение" (с)
|
11.11.2017 21:20 | |
А вот ещё, что я советую глянуть. (требуется знание английского)
https://learn-anything.xyz/ В это поле вводим любую концепцию, в которую вы хотите войти, и вам выдадут поэтапный набор материалов, карту концепта: с чего начать, что почитать и посмотреть, и чем закончить. |
12.11.2017 11:23 | |
Вот и поговорили.
|
12.11.2017 12:55 | |
О да, Numberphile <3 Ещё рекомендую 3Blue1Brown и blackpenredpen
|
|
Обновил(-а) ZackMercury 12.11.2017 в 13:12
|
12.11.2017 19:06 | |
А вообще, это немножечко не в тему. Если можно, перенесите это во флейм.
Ну и да, смахивает на какой-то троллинг, тигр прав. Завтра почищу. |
12.11.2017 20:53 | |
Ты людей делишь на чайников и нечайников? Вот есть какая-то сложная и запутанная тема, вроде Gradient Descent. Есть человек, у которого пробелы со школьными знаниями по абсолютно любым причинам. Вдруг, он решает, что хочет изучить то, как работает нейросеть, и пробелы со школьными знаниями не дают ему этого сделать полноценно, т.е. незнание, что вообще такое производная и отсутствие интуиции на эту тему. Он лезет в интернет, а там на русском языке совершенно нет никакой дружелюбной информации. В итоге, чтобы войти в нейросети ему нужно прочитать тонну литературы, потратить кучу времени на осмысление того, что он прочитал вместо того, чтобы быстро разобраться с производными и двигаться дальше.
P.S. по моему росток под асфальтом это кое-кто, кто вообще не вникает в то, что ему говорят, находится на своей волне и пытается учить других, при этом общаясь насмешками. Цитата:
PS. хвастать аннлийским
P.P.S. вообще, это гнилая тема в рунете. Отсутствие уважения к людям, и желание выпендриться своим "гигантским" жизненным опытом. Я не ожидал, что на мои слова может быть такая реакция, это да. |
|
Обновил(-а) ZackMercury 12.11.2017 в 21:49
|
12.11.2017 23:16 | |
Цитата:
Ты людей делишь на чайников и нечайников?
Цитата:
Вдруг, он решает, что хочет изучить то, как работает нейросеть, и пробелы со школьными знаниями не дают ему этого сделать полноценн? т.е. незнание, что вообще такое производная и отсутствие интуиции на эту тему. Он лезет в интернет, а там на русском языке совершенно нет никакой дружелюбной информации. В итоге, чтобы войти в нейросети ему нужно прочитать тонну литературы, потратить кучу времени на осмысление того, что он прочитал вместо того, чтобы быстро разобраться с производными и двигаться дальше.,
Цитата:
По вашему я тут хвастаю? С меня довольно.
PS. йуным творцам нетленок нехудо бы поджопников отведать от братьев старших. ключевое слово - братья, если чо. PS2. нормальное изложение темы "производная" на самом деле. я читал по-диагонали, но косяков, выходящих из контекста "я у мамы фихтенгольц" не обнаружил. алиллуййя! еще одно 9100500100-е) объяснение геометрического смысла производной! народ схавает. добавка будет? PS3. ты тратишь свое время, это твое право. но. поверь, девушки намного эффективнее разбирают такие сложные матаны, если им предъявить. . есть смысл уверовать в разнополую любоффь! PS3. заманался тыркать капслук для переключения раскладки. это о наболевшем. |
|
Обновил(-а) alexcon314 12.11.2017 в 23:30
|
12.11.2017 23:31 | |
тигра)) сколько лет- сколько зим))
умирающий блог на умершем форуме - что еще нужно для того ,чтобы встретить старость)) а заку - хоршо. живым - все хорошо! |
12.11.2017 23:46 | |
И что теперь, хоронить ресурс? Я думаю, отцы переживут смену ориентации, и будут любить своё дитя независимо от его ориентации.
|
12.11.2017 23:49 | |
Во! Конструктив!
|
13.11.2017 19:12 | |
Ну-с, вся команда в сборе, осталось дождаться капитана =)
|
13.11.2017 21:14 | |
Не знаю, как там кому что в школе сложно про производную рассказывали, но здесь все как-то ну совершенно уж на кубиках с картинками. Причем так, что аж сама суть ускользнула.
|
13.11.2017 22:39 | |
Zebestov, конкретно в этой статье? Здесь речь не о производной, а о наклоне линейной функции.
|
13.11.2017 23:26 | |
Тогда зачем статья называется: "Производная функции …"?
|
13.11.2017 23:30 | |
Zebestov, так как это необходимый материал, который обязательно знать прежде, чем начинать читать третью часть, в которой уже говорится о производной.
|
13.11.2017 23:48 | |
Начинать разговор о производной с линейной функции — это ошибка, я считаю. Почему было не начать с чего-то, что можно "увидеть" и сразу понять, как это и делали в школе!
|
14.11.2017 11:39 | |
У тебя касательная и сам график — одна линия. Вот возьми и открой еще раз ссылку и посмотри, как люди выбирают графики для объяснения материала.
|
14.11.2017 11:46 | |
Zebestov, ещё раз, здесь не о производной речь. О производной я говорю в третьей части.
|
14.11.2017 12:35 | |
Судя по названию, о производной все части, включая эту.
|
14.11.2017 16:22 | |
И все стало похожим на популярное (в плохом смысле этого слова) ток-шоу с притянутой за уши интригой.
|
Последние записи от ZackMercury
- Вывод формулы для бесконечного цикла. (11.01.2019)
- Как заменить цикл на формулу. (10.01.2019)
- Конечные и бесконечные суммы, Ч. 1 (08.01.2019)
- Как легко запомнить тригонометрические функции (07.01.2019)
- Движение по треугольнику, квадрату, пентагону, хексагону, ... (05.01.2019)