Производная функции для людей - Часть 2

---

В прошлой части мы узнали, что такое наклон или slope у уравнения прямой. Сейчас я исхожу из того мнения, что вы прочитали предыдущую часть, поэтому не буду повторять вступление, однако в этот раз мы не будем говорить о наклоне вообще, сегодня мы поговорим об отдельной концепции, которая невероятно важна в математике, и которая позволит вам подойти ближе к производной функции, которая откроет вам новый взгляд на функции и методы работы с ними.
Ньютон, который изобрёл дифференциальное исчисление(differential calculus), тоесть, вычисление производных, в 12 веке ещё не имел понятия о пределах, но использовал их на интуитивном уровне. Предел был впервые строго определён в 1821 году.

Что такое предел(limit)?

Официальные определения? Нет конечно, я просто покажу на примере, зачем нам может понадобиться предел.


Предел - это такое число, к которому мы можем приближаться настолько близко, насколько мы того пожелаем с помощью приближения X к некоторому числу.
Тоесть, предел определяется только в конкретной точке.


Что значит "так близко, насколько мы захотим"? Это значит, что если вы мне дадите какое-то выражение, и какое-то число L, сказав, что это предел этого выражения в точке с(си), то если я приближу х к с ещё ближе, я не должен быть способен пересечь этот предел.

Записывается это вот так:


Читается "предел функции y от x при х, стремящемся к 5 равен 4", или "предел функции y от x в точке х=5 равен 4".
Стремящемся означает, что х бесконечно приближается к этой точке 5, но никогда ей не равняется.

Что-ж, ну это, вроде бы понятно, но это не совсем похоже на то, чем мы занимались в школе.
Именно, но я хочу, чтобы вы поняли саму концепцию предела, логику, что это и зачем нужно, а не научились находить пределы в первую очередь, и в конце так ничего и не поняли.

Теперь давайте попробуем в алгебраическом виде найти пару пределов:

Возьму отсюда пару упражнений и попытаюсь с вами решить:


В последнем примере мы преобразовали нашу функцию, а значит мы могли бы сказать, что значение функции в этой точке определено?
Нет, этого сказать нельзя. Мы имеем право преобразовать функцию только когда ищем её предел, так как его значение от преобразований не изменяется.

Я ждал этого момента, когда мне под руку попадётся такая функция, предел которой в точке неопределённости мы только что нашли. А что, если мы попробуем воспользоваться Desmos Graphing Calculator, чтобы понять, почему алгебраические преобразования не изменяют значения предела? Сначала вставим функцию, которая была у нас до преобразований:


Здесь мы видим, что калькулятор автоматически заполнил для нас точку x=2, однако выражение неопределено в этой точке. Теперь добавим на тот же график другую функцию, в которую мы преобразовали текущую:


Здесь мы видим, что вторая функция полностью легла на предыдущую, и они полностью идентичны за исключением того, что первая не определена в точке 2, а вторая - определена.

Теперь должно стать понятней, что мы сделали, и что нам даёт предел.

Предел при X->∞(бесконечность) и X->0

Давайте рассмотрим пару пределов, чтобы понять приёмы, которыми мы пользуемся при их нахождении:


Прощу прощения, что я не смог вставить пример отдельно от решения, так как количество картинок на пост ограничено, у меня осталась только одна

И ей я покажу предел при Х->0, стоящем в знаменателе. Если вы дочитали до этого момента и вам всё понятно - вы герой.


В этом случае предела слева не существует, так как функция стремится к минус бесконечности, постоянно уменьшаясь, когда мы приближаем Х ближе к 0, и предела справа также не существует, так как функция стремится к бесконечности, когда мы приближаем Х к 0.

Если вам всё было понятно, то поздравляю, вы готовы к тому, чтобы понять, что такое производная. В следующей статье вас ждёт ещё один сюрприз. А пока, если вас это вдохновило, вы можете взять и попытаться решить ещё пару примеров из изображения выше.