Применение производным. Анализ функции
Давайте взглянем на вот такую функцию:
Что, если мы впервые увидели это выражение, под рукой нет ничего, кроме обычного калькулятора, и нам нужно нарисовать график этой функции? Что-ж, для начала нам стоило бы найти 2 изгиба, которые находятся приблизительно в точках -2 и 2, однако как? Как мы можем узнать, где они находятся?
Что-ж, давайте взглянем на производную нашей функции, что с ней происходит на этом интервале.
Здесь видно, что ровно в этих точках наклон касательной, а тоесть производная функции = 0.
При любом смене знака производной с - на + или с + на - мы будем иметь подобный изгиб.
Такие изгибы называются локальными экстремумами функции, а точки, на которых они находятся - критическими.
Чтобы найти их, нам нужно найти точки, в которых наша производная будет = 0.
Для этого сначала найдём производную нашей функции
И затем приравняем к нулю:
Что мы нашли? Мы нашли точки, в которых производная меняет свой знак.
Прежде чем мы сможем поставить их на нашем графике, который мы должны нарисовать
Нам необходимо найти их координату по y, для этого мы подставляем их в изначальное уравнение:
В итоге мы получили 2 точки на нашем графике:
(-1.83, 1.22) и (1.83, -1.22), и можем нанести их.
Вы могли бы подумать, что теперь очевидно, как идёт функция, но не стоит спешить с такими выводами. Пока что, мы не знаем, какие знаки принимает производная между этими точками, до и после них. Поэтому, кроме графика мы нарисуем ещё и числовую прямую, на которой мы будем обозначать знак производной на том или ином интервале.
Что это нам говорит? Это нам говорит, на каких промежутках функция идёт вверх, а на каких - вниз.
Напомню, всё, что мы делали мы делали для того, чтобы нарисовать это:
И хочу сказать, если пару сотен раз это сделать самому, то можно научиться делать это не то, что очень быстро, но даже в уме.
Ну и ещё один способ увидеть это - это посмотреть на график производной и сравнить точки, где она равна 0 с точками изгиба:
Q&A:
Zebestov:Складывается впечатление, что ты выбрал этот пример лишь для того, чтобы убедить читателя в абсолютной бесполезности производной в повседневной жизни разработчика.
Cправедливое замечание, спасибо.
Но применение производной так или иначе включает в себя работу с математическими выражениями, и ничего более приближённого к работе разработчика, чем математический анализ выражения я не придумал.
Я мог бы выбрать пример, скажем, из физики, но полезности в жизни разработчика этому не прибавится.
Однако если вам таки понадобится научиться работать с математическими выражениями, этот инструмент для анализа какого-либо математического выражения просто невероятно полезен.
А в наше время с математическими выражениями работает каждый
На самом деле, этой статьёй я хотел закрепить понимание производной до конца.
Всего комментариев 4
Комментарии
14.11.2017 14:07 | |
.. 🙈 ..
|
14.11.2017 14:09 | |
Psycho Tiger, что это могло бы означать?
Я прекрасно понимаю, что проще было бы найти вторую производную в этих точках, но я пытаюсь поддерживать целостность статей и лёгкость восприятия теми, кто этим не занимается. Ну и есть пара упущений, которые я думаю, как бы исправить помягче. Меня интересует скорее, насколько хорошо это воспринимается новичками. |
|
Обновил(-а) ZackMercury 14.11.2017 в 14:37
|
14.11.2017 16:26 | |
Складывается впечатление, что ты выбрал этот пример лишь для того, чтобы убедить читателя в абсолютной бесполезности производной в повседневной жизни разработчика.
|
Последние записи от ZackMercury
- Вывод формулы для бесконечного цикла. (11.01.2019)
- Как заменить цикл на формулу. (10.01.2019)
- Конечные и бесконечные суммы, Ч. 1 (08.01.2019)
- Как легко запомнить тригонометрические функции (07.01.2019)
- Движение по треугольнику, квадрату, пентагону, хексагону, ... (05.01.2019)