Я вот этого не понимаю совсем.

Благодарю. Всем спасибо.

Поднимает в списке отображения, т.к. сработал MouseEvent, parent есть. Что не так?

Хе-хе. Для того, чтобы стать последним ребенком своего родителя, вы попросили его вас заново усыновить :)

Да, он будет удалён из списка и добавлен в конец. Чем это плохо?

Я не знаю, чем это плохо. Может быть тем, что не понятно. Для управления положением объекта в списке отображения есть соответствующие методы:
Выглядит сложнее, чем в вашем случае, но это только потому, что вы управлете объектом через его родителя, а нужно управлять им из родителя.

Судя по всему, класс вашей фишки должен содержать только свойства: координаты и еще какие-нибудь. А методы по управлению ею лучше бы написать в родителе: перетаскивание фишки, удаление и еще какие-нибудь.