[Astraport]

И, естественно, приложение должно быть запущено (как служба, в фоновом режиме)

Вы не правы. Мне постоянно шлют push-нотификации разные приложения, которые не запущены. Для этого используются серверные решения. Или сервисы типа UrbanAirship.