Локально - FileReference или AIR.
На сервере - с помощью серверного скрипта, например:
PHP код:
//имя файла - script.php
<?php
$filename = "myFile.txt";
$insertpost = $_REQUEST['content'];
$fp = fopen($filename,"w");
fputs($fp, $insertpost);
fclose($fp);
?>
Код AS3:
private function writeText(myText:String):void {
var request:URLRequest = new URLRequest("script.php");
request.data = myText;
request.method = URLRequestMethod.POST;
var loader:URLLoader = new URLLoader();
loader.load(request);
}