[iflamberg]

Имя экземпляра - это свойство mc.name. В вашем коде это так:

private function startProcess(e:MouseEvent):void
{
  var mc:MovieClip = e.currentTarget as MovieClip;
  if (mc.name=="sun1") ...
}

Но вообще у вас корявый код получается. Если у вас все "сыны" в "папе", то логичней так:

var mc:Papa = new Papa();
addChild(mc);
mc.addEventListener(MouseEvent.CLICK, startProcess); //один единственный слушатель на папе слушает всех детей
 
private function startProcess(e:MouseEvent):void
{
  var mc:MovieClip = e.target as MovieClip;
  switch (mc.name){
    case "sun1":
      //action
      break;
    case "sun2":
      //action
      break;
    ...      
  }
 
}