[KumoKairo]

Насчет ВК не могу сказать, а в FB функционал логина игрока в игру делается просто, там просто открывается "поп ап" окно (которое не считается поп апом, просто модальное страничное"окно") с требованием логина.

Подход такой - при загрузке страницы делаете FB.init со всеми вытекающими.
При нажатии на кнопку вызываете FB.login через External Interface, и в этот же момент ставите игру на паузу. После вызова колбэка с информацией о том, залогинился игрок или нет (окно с логином в любом случае закроется) выключаете паузу и смело сохраняете нужный прогресс.

Но вообще из вопроса не понятно - авторизовать вам нужно по кнопке или сохранить?
Если просто сохранить - это тривиальная задача совершенно