а у вас конект к базе осуществятся, база выбирается? ..
Код:
update book set author1=$authorName where id=1
Вы обновляете автора только первой книги всегда? )
и тут скорее всего вылезает ошибка надо кавычки ставить.
Код:
UPDATE book SET author1='".$authorName."' WHERE id=1