Сегмент кривой Безье второго порядка

[Chum]

Пишу на AS3 чертилку. В работе среди прочего использую метод CurveTo - рисование кривой Безье второго порядка.



На представленном рисунке вычерчена фигура ограниченная кривой Безье построенная по 3 точкам P0,P1,P2 и отрезком P0-P2. Координаты всех трёх точек P0,P1,P2 известны.
Вопрос: Как определить площадь фигуры окрашенной розовым цветом.
PS. Можно и не AS3 код, а хоть что-то удобоваримое и понятное. Задавал этот вопрос на других форумах ...

[Serya]

Двойным интегралом? правда я не в курсе что за кривая будет предоставлена частью безье

[iNils]

Для интеграла нужно знать формулу, по которой строится кривая.
Если не нужна 100% точность, то можно кривую загнать в BitmapData, а потом с помощью метода threshold узнать количество закрашенных пикселей.

[Serya]

http://casper.makegames.ru/ispolzovanie-krivoj-beze/

[-De-]

2/3 площади треугольника.
Т.к. всегда процент площади будет одинаковый и достаточно посчитать для каких-то удобных точек. А одинаковый он т.к. при одинаковых аффинных преобразованиях любых фигур отношение их площадей сохраняется, любой (невырожденный) треугольник можно получить из любого другого треугольника аффинным преобразованием и при аффинных преобразованиях опорных точек кривой Безье сама кривая Безье преобразуется тем же аффинным преобразованием (т.к. координаты всех её точек есть линейная комбинация опорных).

[Chum]

2/3 площади треугольника.

Спасибо, заманчиво конечно просто умножать площадь треугольника на 2/3, но хотелось бы обосновать эти 2/3. Как они получены математически.
Попробую погуглить про афинные преобразования.

[-De-]

Ну вот выводят даже без моей аффинной мути =) (зато у них интеграл сложнее).

[Chum]

Да уж, это то что требовалось.
На всякий случай если кому-нить потребуется: