Вычислить работы цикла математически

[PlutDem]

Здравствуйте, можно ли вычислить результат работы цикла без использования самого цикла? По какой нибудь формуле?

var x:Number  = 0;
for (var i:int = 0; i < 100; i++){
    x *= 0.9;
    x += 10;
}

[Bletraut]

Может быть как-то через прогрессии.

Добавлено через 1 час 1 минуту
В принципе я могу вывести подобное.

Добавлено через 1 час 2 минуты

			var x:Number = 0;
			var x2:Number = 0;
 
			var d:Number = 0.9;
			var m:Number = 10;
			var j:int = 100;
 
			for (var i:int = 0; i < j; i++)
			{
				x *= d;
				x += m;
			}
 
			x2 = x2 * Math.pow(d, j - 1) + d * m * (1 + (d * (1 - Math.pow(d, j - 2))) / (1 - d)) + m;
			trace(x, x2);

выводит

99.99734386011124 
99.99734386011126

Числа немного отличаются.

Добавлено через 1 час 7 минут
Вот искомая формула, где d = 0.9, m = 10, j - размерность цикла.

x2 = x2 * Math.pow(d, j - 1) + d * m * (1 + (d * (1 - Math.pow(d, j - 2))) / (1 - d)) + m;

Добавлено через 1 час 16 минут
А если не секрет, то где такое тебе понадобилось?

[caseyryan]

Похоже на какое-то тестирование. В OCPJP такие вопросы встречал

[PlutDem]

Bletraut, Использовал в игре для нахождения максимальной скорости которою может развить транспортное средство с двигателем определенной мощности. В оригинале опытным путём было выбрано 300 итераций для цикла - дальше прирост уже незначительный.
Если не секрет, как Вы вывели формулу? Какой это раздел математики?

[samana]

p.s. Формула работает в два раза быстрее цикла, проверил.

[Bletraut]

PlutDem, прогрессии. Я не математик и не имею глубоких познаний в математике, поэтому объясню как умею, выводил я следующим образом:
Нужное нам число состоит из арифметической и геометрической прогрессии + исходное число.
d - коэффициент умножения, m - коэффициент сложения, a1 - первый член прогрессии (в нашем случае 0), an - n-ый член прогрессии.

Чтобы найти an для геометрической прогрессии воспользуемся формулой an = a1*d^(n-1), где n - номер нужного нам члена геометрической прогрессии.
В нашем случае прогрессия смешанная, чтобы увидеть закономерность, выведем формулу нескольких первых членов прогрессии.

1) a1 = 0
2) a2 = a1*d + m
3) a3 = a2*d + m = (a1*d + m)*d + m = a1*d^2 + d*m + m
4) a4 = a3*d + m = (a1*d^2 + d*m + m)*d = a1*d^3 + d^2*m + d*m + m

Разберем первую часть формулы. Нетрудно заметить, что это есть формула n-ого члена геометрической прогрессии, следовательно можем заменить данный кусок формулы на a1*d^(n-1)

2) a1*d
3) a1*d^2 
4) a1*d^3

Далее разберем конец формулы, очевидно, что ничего не меняется, поэтому мы можем просто записать +m

2) + m
3) + m
4) + m

Теперь самое интересное, рассмотрим середину. Последовательность трудно заметить, поэтому выведем пятый член прогрессии:

a5 = a1*d^4 + d^3*m + d^2*m + d*m + m

, внимательно посмотрим на пятое выражение

d^3*m + d^2*m + d*m

, вынесем d*m за скобки и получим

d*m*(d^2 + d + 1)

. Можно заметить, что в скобках у нас получилась сумма членов геометрической прогрессии к которой прибавляется 1. Сумма членов геометрической прогрессии (k1, k2, k3, ...kn) вычисляется по формуле S = (k1*(1 - q^n))/ (1-q), для нашего случая k1 = q = d. Так же заметим, что степень нашей последовательности начинается n - 2. Поэтому середину формулы мы запишем как

d*m*(1 + (d*(1 - d^(n-2)))/(1-d))

2) 0
3) d*m
4) d^2*m + d*m
5) d^3*m + d^2*m + d*m

В итоге вся формула будет иметь вид

an = a1 * d^(n-1) + d * m * (1 + (d * (1 - d^(n - 2))) / (1 - d)) + m;