Производная функции для людей - Часть 3
В двух предыдущих частях мы узнали, что такое наклон(slope) линейной функции и что такое предел.
Я хочу рассеять все догадки и фантазии о том, что такое производная, поэтому я начну с того, что наконец скажу, что это такое. Готовы?
Производная функции - это скорость её возрастания.
Наклон - это и есть производная?
Да, для линейной функции наклон и будет являться производной функции. Он на всех промежутках одинаков, поэтому мы с уверенностью можем сказать, что, скажем, производная
y = 2x + 3
Будет равна 2. Для любой функции вида y = mx + b, производная будет равна m.
Конечно, я снова не призываю верить мне наслово, скорее наоборот, я призываю проверять мои слова как можно чаще и считать самостоятельно, чтобы вы крепко это запомнили и у вас появилась уверенность в том, что это так
Тоесть, суммируя всё сказанное, производная - это какое-то число, которое говорит о скорости возрастания функции, или наклоне функции?
Так и есть, если не говорить про один момент. До этого, когда мы говорили о наклоне, мы имели в виду функции вида
y = mx + b
Но давайте взглянем на график функции
y = x²
Мы видим, что у этой функции нет никакого наклона, она постоянно его меняет!
Но скорость изменения функции в каждой конкретной точке у этой функции есть.
Тоесть, всё-таки, наклон функции и производная - это не одно и то же?
На самом деле, когда мы говорим про производную, мы говорим про наклон касательной в конкретной точке.
Касательная - это прямая, имеющая общую точку с функцией, но не пересекающая её. Тоесть, ближе к теме - имеющая такой же наклон, что и функция в конкретной точке.
Соответственно, говорить о производной как о наклоне функции в какой-то конкретной точке вполне уместно.
Давайте попробуем посчитать производную функции
y = x²
В точке -2. Для этого нам нужно взять точку -2, и ещё одну рядом лежащую точку, и посчитать между ними наклон как если бы это была обычная линейная функция.
Если говорить более математическим языком, что в данной ситуации более правильно, то стоит ввести пару обозначений. Надеюсь, получилось не слишком запутано(если это так, дайте мне знать в комментариях):
Тоесть, мы добавили новую точку по оси OX (-2 + Δx), и вместо Δx мы подставим какое-нибудь очень маленькое число.
Как вы могли заметить, здесь я заменил обозначение rise(подъём) на Δy, а run(пройденное расстояние) на Δx, и выходит, что теперь
slope = Δy / Δx
или
Другими словами мы делим разницу по игрику между нашей точкой
y(-2+Δx) - y(-2)
на разницу по иксу
(-2+Δx) - (-2)
Итак, давайте наконец посчитаем производную в этой точке, взяв относительно маленькое число 0.00001
Я думаю, все прекрасно понимают, что насколько бы маленькое число Δx мы ни взяли, результат всё равно будет неточным, но...
Секундочку! А что, если... Взять предел этого выражение при Δx->0 ?
Вот мы и приплыли. Если у вас возникла такая мысль, то сейчас всё должно щёлкнуть, потому, что мы наконец на месте. Добро пожаловать в мир математики.
И, вместо -2 взять переменную x, чтобы охватить сразу весь интервал от -∞ до ∞
Если вы вдохновлены идеей, вы можете остановиться читать в любой момент и попытаться найти производную y = x² самостоятельно! Но если у вас возникли какие-то проблемы, вы можете взглянуть на вывод производной этой функции ниже.
Если вам абсолютно всё чётко и ясно - поздравляю, мы с вами научились находить производную! Сейчас вы должны кричать "бинго", и танцевать, как Jon Arbuckle.
Именно так вычисляли производные до Ньютона и Лейбница.
Секундочку... А как обозначать производную?
Честно говоря, способов обозначать производную довольно дофига...
https://en.wikipedia.org/wiki/Notati...ifferentiation
Однако основные это
- обозначение Лейбница(читается как производная икс квадрат по иксу, или по-английски derivative of x squared with respect to x)
- обозначение Лагранджа, наверное, самое простое для восприятия. Значок ' читается как "штрих", или по-английски prime.
Ну что-ж, на этом путешествие не заканчивается.
Вычисление производных таким способом казалось довольно долгим и нудным, но Ньютону и Лейбницу казалось, что есть способ сократить время, затрачиваемое на вывод производной.
Именно поэтому, они оба работали над набором правил для того, чтобы вычислять производные на лету, и пришли к 4 основным правилам вычисления производных:
- Power rule (правило степени)
- Product rule (правило умножения)
- Quotient rule (правило частного)
- Chain rule (правило цепи)
Ещё можно добавить сюда же правило, что производная константы = 0, что имеет смысл. (хотя грех назвать это правилом, это скорее вывод из определения производной как скорости изменения функции)
Также правило, что производная суммы 2 функций = сумме производных этих двух функций и правило, что константа-множитель может быть вынесена за знак производной.
Доказательства этих правил вы можете найти в интернете, но вы можете и просто довериться Ньютону и Лейбницу, правила уже миллиарды раз проверены людьми по всему миру.
Но если вы хотите понимать, как к этому пришли, советую таки взглянуть на доказательства, предоставленные khanacademy:
Proof of Power Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=dZnc3PtNaN4
Proof of Chain Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=FKraGDm2fUY
Proof of Product Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=L5ErlC0COxI
Proof of Quotient Rule:
https://www.youtube.com/watch?v=ho87DN9wO70
Желательно смотреть сверху вниз, т.к. доказательство Quotient Rule пользуется Product Rule И Chain Rule.
Давайте пересмотрим всё, что сегодня изучили.
С первого взгляда сложно понять, как связана функция и её производная, но то, что мы сегодня изучили - это то, что значение производной в данный момент времени говорит о наклоне нашей функции в данный момент(или наклоне касательной, если вам так удобней думать)
Здесь наклон красной прямой(ну, не совсем прямой, да, какая вышла) равен -10.
Всего комментариев 0
Комментарии
Последние записи от ZackMercury
- Вывод формулы для бесконечного цикла. (11.01.2019)
- Как заменить цикл на формулу. (10.01.2019)
- Конечные и бесконечные суммы, Ч. 1 (08.01.2019)
- Как легко запомнить тригонометрические функции (07.01.2019)
- Движение по треугольнику, квадрату, пентагону, хексагону, ... (05.01.2019)